А.Р. Майзелис. ИЗ ЗАПИСОК СТАРОГО УЧИТЕЛЯ

Много я узнал от учителей своих.
Еще больше от сверстников.
Но более всего от учеников своих
Старинная мудрость из священных книг.

ВВЕДЕНИЕ

За почти пятидесятилетний период моей работы в школе менялись программы, менялись учебники, менялась официальная точка зрения на цели обучения. Менялись и ученики. Мне пришлось работать в «обычной» школе (других тогда просто не существовало), и в Нахимовском училище, и в интернате, созданном, дабы осуществлять идеи Н.С. Хрущева о необходимости перехода всех учеников на общественное воспитание. В такие интернаты многие школы старались отправить самых «соленых учеников» (выражение одного «соленого»). Несколько лет работал в школе с различными «трудовыми уклонами» (швеи, слесари, токари, реставраторы-эрмитажники и физики-лаборанты). Последние 27 лет работал в физико-математических 10-11 (9-10) классах.

Не буду пытаться, как иногда говорят, «обобщать опыт», я всего лишь хочу вспомнить несколько эпизодов, оказавшихся для меня как учителя важными, и рассказать о некоторых моих приемах. Читая дальнейшее, надо понимать, что, во-первых, опыт накопившийся почти за полвека работы; во-вторых, далеко не на каждом уроке делаются «открытия»; в-третьих, не в каждом классе и не все удается каждый раз, многое зависит от «ситуации»; в-четвертых, но не в-последних, конечно надо понимать, что большинство уроков – рабочие. Искусство состоит в том, чтобы соблюдать чувство меры. Признаюсь, у меня это не всегда получалось.

ОПЫТ

Математика, как известно, наука скучная. Поэтому еще Паскаль предлагал не упускать случая, сделать ее интересной. Разумеется, надо сперва разобраться в материале. Но этого очень и очень мало. Сколько бы учитель ни работал, он должен искать пути к разуму и к сердцу, именно к сердцу ученика.

Открытие с перепугу

Идет урок в 9 классе. Я – молодой учитель. На уроке присутствует инспектор из Москвы. Я, правда, уже понял, что инспектора приходят и уходят, а ученики остаются. Поэтому, как обычно, вызвал трех учеников – двух слабых и одного сильного. И, как обычно, они вытянули листочки с заданиями. Самый простой вопрос достался сильному, ответ которого оставил напоследок. Он должен был рассказать признак параллельности прямой и плоскости. Но что это? Вместо знакомого доказательства (по Киселеву) всего две фразы: «Если бы прямая АВ не была параллельна плоскости, то она пересекла бы ее в точке, не лежащей на CD. Но тогда она была бы скрещивающейся с ней, что противоречит условию».

До сих пор я не замечал такого простого доказательства. Время еще было суровое, отход от стабильного пособия не поощрялся. Инспектор сначала не поняла доказательства. Я похвалил Мишу Альтшуллера, и он после урока признался, что доказательство он придумал с перепуга, так как не заглянул в учебник.

Первое открытие

Классу было дано практическое задание: показать на модели, что графики взаимно обратных функций синуса и арксинуса симметричны друг другу относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов. А Женя Шумилкина, кроме того, сделала модель и для арккосинуса, что требовало догадки: надо было разрезать второй лист бумаги там, где пересекаются графики прямой и обратной функций. Кстати сказать, впоследствии Женя Шумилкина не только стала кандидатом физико-математических наук, но, и что более показательно, стала изобретателем-миллионером. Ее изобретения в старых ценах давали больше миллиона экономии. Эти и другие доказательства своих учеников я потом встретил в позднее изданных пособиях для учителей и как открытия в журнале «Математика в школе».

Теорема Ерух

На уроках геометрии старшеклассники занимаются «открытием» доказательств теорем, делают это увлеченно, с большим интересом. Изучаем, например, теорему: «Плоскость, пересекающая одну из двух параллельных прямых, пересекает и другую». Даю лишь некоторые пояснения. А доказать предлагаю самостоятельно. Отрадно, что размышляют, придумывают свои варианты не только сильные ученики, а почти все. Первой доказала теорему Вера Ерух. Довольно долго в этом классе говорили: «По теореме Ерух». Это игра? Да, есть тут элемент игры, но какой! Игры, развивающие понимание того, что знание, как утверждал Л.Н. Толстой, только тогда знание, когда оно приобретено усилиями своей мысли, а не памятью. Иногда ученики просят не разбирать доказательство теорем на уроках, а дать им еще время дома подумать.

Архимед

При изучении правильных многогранников я дал понятие полуправильных многогранников и показал пару из них. Рассказал, что их открыл Архимед, что он не заметил существования еще одного «архимедова» тела и что этот пробел установил только в тридцатых годах нашего века московский математик Ашкенузе. Предлагаю им «открыть» остальные тела и изготовить их модели. Честно говоря, я не очень рассчитывал на успех. Но ученики увлеклись многогранниками, а Сашу Сокольского, изготовившего больше всех моделей, они прозвали Архимедом.

Меня и другие случаи научили многому. Во-первых, избавиться от излишней «добросовестности», свойственной учителям. Во-вторых, задавать на дом посильный материал, о котором в классе даже, может быть, не упоминалось. В-третьих, в классе больше доверять ученикам. Один методист написал однажды, что идеальным считает урок, в котором учитель не участвует. Шутя можно сказать, что учитель нужен для того, чтобы получать зарплату. «Случайные открытия свершают только подготовленные умы», - сказал Паскаль. Как же к ним готовить? Рецепта, увы, нет, а наблюдения, пожалуй, есть.

ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ

Известен учительский анекдот. Когда, отчаявшись найти ученика, который слушал ее, учительница обратилась к мальчику, смотревшему ей прямо в рот, он ничего не ответил. Учительница воскликнула: «Ты смотрел мне прямо в рот!». – «А я хотел сосчитать, сколько у Вас золотых зубов!». Мы должны постараться, чтобы ученики меньше считали золотые зубы. Частично для этого надо прерывать объяснение и… Бог знает, что надо делать. Надо менять тактику.

Информационные листочки

Не сразу я додумался до них. В новом классе на одном из первых уроков показываю, как с помощью только ножа, из обычной школьной тетради сделать маленькие листочки в четверть тетрадного листа и пакетик, в котором эти листочки хранятся. Все обязательное домашнее задание в этот раз состоит только из изготовления этих листков с полями, которые должны быть положены в пакетик. Я их применяю для постоянной «обратной связи». На них ученик может задать вопрос, может указать на «липу» в доказательстве, которая была сделана умышленно, на случайную ошибку на доске, может объяснить, почему он не сделал уроки, может аннотировать ответ товарища, может сообщить о своей догадке - куда дальше ведет объяснение. Это может быть или какое-то преобразование, или логический шаг, или чертеж, или продолжение мысли, или завершение доказательства, или «ответ», или указание неизвестного в составленном неравенстве (уравнении). Часто работа на листочках бывает обязательной.

СВЯЗЬ ТЕМ

Познавательнаяактивность учеников возрастает, когда они не только ощущают рост своих знаний, но и представляют перспективу дальнейшего их применения, развития, их выход в жизнь, в науку. Очень важно, завершая тему, дать понять ученику, что это только начало пути, и, если возможно, показать дальнейшее его направление. Важно, чтобы ученик видел взаимосвязь отдельных тем и вопросов курса. Например, показываю использование разложения многочлена на множители для решения уравнений высших степеней в 7-м, а не в 10-м или даже в 11-м классе, и это разложение уже не кажется ненужным, трудным. А с каким увлечением те же семиклассники решают или хотя бы слушают решение задач с математической «живинкой». Вот одна из них.

Известно, что сумма обратных величин, каких то трех чисел равна обратной величине их суммы. Доказать, что этим же свойством обладают 1997-е степени этих чисел.

Упрощение и разложение на множители (!) приводят условие задачи к уравнению: (a+b)(b+c)(c+a)=0. Откуда, по крайней мере, два числа из данных противоположны друг другу, а значит, их 1997-е степени обладают тем же свойством. Тут задаю шутливый вопрос: «А если это «случилось» годом раньше или годом позже?». Все понимают, что весь «секрет» в нечетности числа 1997.

Тождественные преобразования, разложение на множители, нахождение корней уравнений, вычисления перестают быть самоцелью, становятся средством решения интересных задач.

ЛИРИЧЕСКИЕ ОТСТУПЛЕНИЯ

Интерес к предмету должен все время подкрепляться свежей умственной пищей, тем, чего нет в учебнике или в программе. Например, изучая касание прямой к окружности, рассказываю о фигурах постоянной ширины. В базовой школе, тем более в гуманитарной и даже в математических классах с двухлетним обучением (10-11 классы), нет в программе ничего о геометрии Лобачевского. И надо видеть, с каким вниманием и интересом знакомятся ученики с основами геометрии Лобачевского, когда идет разговор об аксиомах стереометрии.

Или, скажем, в задаче нужно доказать, что один из углов составляет треть какого-то данного угла. И возникает повод поведать историю знаменитой задачи о трисекции угла, неразрешимой с помощью циркуля и линейки. Я предложил ребятам самим попытаться сконструировать прибор для ее решения движением. После летних каникул ученик 10 класса Володя Чирин принес трисектор собственной конструкции и собственного изготовления с довольно простой кинематической схемой.

Когда изучаем тела вращения, рассказываю о теореме для геодезических линий на поверхности вращения: « произведение r х sin ? постоянно (где r – радиус параллели и ? – угол, который составляет геодезическая линия с меридианом)». Здесь я рассказываю о поведении геодезических линий (кроме образующих) на конусе. Каждая из них делает поворот в узкой части конуса и навсегда уходит в широкую часть. Поясняю, что также поведет себя шарик, кинутый в «перевернутый» конус. При этом я опираюсь на то, что ученики знают, что геодезические линии играют роль прямых в смысле 1-го закона Ньютона. Один из моих учеников принес доказательство теоремы о геодезических линиях. Это был Максим Скриганов. Правда, за все время моей работы только один ученик «вздумал» доказать эту теорему.

ОБЪЯСНЕНИЕ НА ПАЛЬЦАХ

Стимулирует мышление объяснение «на пальцах». А потом ученик дома или в классе сам даст строгое доказательство. Трудность доказательства зависит от класса. «Ерундовых» теорем не бывает, одному легко, а для другого на грани его возможностей. И дело учителя «угадать» второго ученика, и похвалить его, и, разумеется, поставить 5. Что можно объяснить «на пальцах»? Если не все, то многое. Следствия из теоремы косинусов. Сравнительная длина перпендикуляра и наклонных, свойства отрезков параллельных прямых, заключенных между параллельными плоскостями, свойства параллельного проектирования: сохранение параллельности и отношения отрезков, лежащих на параллельных прямых, свойства и признаки параллелограмма и многое другое.

МАЛЫМИ СРЕДСТВАМИ

Сильнейшее впечатление на ребят производят решения, в которых почти ничего не используется из изученного материала. Связь между угловыми коэффициентами перпендикулярных прямых обычно находят с помощью векторов или тригонометрии. А можно ее увидеть с помощью теоремы о том, что произведение проекций катетов на гипотенузу равно опущенной на нее высоте.

Пусть прямые заданы на плоскости уравнениями y=kx+a; y=mx+b. Параметры а и b не влияют на наклон прямых. Рассмотрим прямые y=kx; y=mx: обе они проходят через начало координат О, и если они взаимно перпендикулярны, то одна из них проходит в I и III, а другая во II и IV четвертях. Пусть x=1, тогда ордината соответствующей точки А на одной прямой y=k, а соответствующей точки В на другой прямой y= m, при этомkm<0. С другой стороны, |km|=1 (рассмотрим прямоугольный треугольник ОАВ!), следовательно, km=-1 (рис.1).

Еще более поучительна следующая известная задача.

На обычной клетчатой бумаге выделяются рядом три клеточки-квадрата и проводятся их диагонали AB, AC, AD. Требуется доказать, что сумма острых углов, образуемых этими диагоналями с прямой BD, равна прямому углу (рис.2).

Эту задачу можно решить средствами 7-го класса (!), средствами 8-го класса используя подобие треугольников (двумя способами!), используя тригонометрическую теорему сложения (для синусов, для косинусов и лучше всего для тангенсов). Использование таблиц или калькуляторов дает лишь приближенное значение искомой суммы, дает, как бы сказал Пойя, правдоподобный результат.

РАЗНЫЕ РЕШЕНИЯ ОДНОЙ ЗАДАЧИ

Очень поучительная задача: построить отрезок с концами на данных прямых, делящийся в данной точке пополам. Здесь сознательно опущено условие, что эти прямые пересекаются. Более того, не существенно, как расположены эти прямые. К пространственному случаю можно вернуться в 10-м классе. Вот некоторые способы ее решения, когда данные прямые образуют угол. Пусть этот угол ОАВ и данная мочка М.

1. На луче ОМ отложим отрезок МС, равный отрезку ОМ, и примем отрезок ОС за диагональ параллелограмма, вторая диагональ дает искомый отрезок. (Здесь и в дальнейшем я опускаю доказательство и исследование.)

2. Через точку М проводим прямые, параллельные ОА и ОВ, они пересекут стороны данного угла в точках L и N, затем проводим отрезок LN и прямую через М, параллельную LN, пусть она пересекает стороны данного угла в точках С и, и мы получим искомый отрезок СD.

3. Через точку М проводим прямую, параллельную ОВ и пусть она пересекает ОА в точке L. На луче ОА отложим отрезок LC, равный отрезку OL, затем проведем прямую СМ, и пусть она пересечет ОВ в точке D. Отрезок CD – искомый.

4. На луче ОВ возьмем произвольную точку К, на луче КМ отложим отрезок МN, равный МК. Через точку N проведем прямую, параллельную ОВ, она пересечет ОА в точке, скажем, С. Прямая СМ пересечет ОВ в точке D.

Здесь для простоты сравнения искомый отрезок назван одинаково CD во всех способах. Из этих способов самым простым кажется 3-й.

Теперь стоит хотя бы одну прямую заменить на окружность, как почти все способы решения задачи «рушатся». Полезно отдельно рассмотреть случай двух пересекающихся и касающихся окружностей. Но заметим, что в последнем приведенном способе решения исходной задачи прямая, параллельная прямой ОВ, симметрична ей относительно центра М. После этого можно рассмотреть центральную симметрию. Она позволит данные прямые заменить двумя произвольными окружностями, или окружностью и параболой, или окружностью и произвольным контуром, например, известного озера. От этого решения прямая дорога к задаче, в которой середина отрезка заменена точкой, делящей отрезок сперва в отношении 1:2(2:1), а потом и в любом отношении m:n, заданном отрезками.

Связана с этой задача о падающей лестнице. (Вообще, я сторонник того, чтобы задачам давать имена, и чем эти имена ближе к жизни, дальше от математики, тем лучше.)

Электрик плохо закрепил лестницу, и, когда его ноги встали на среднюю ступеньку, лестница стала падать. (Все в классе ощущают ситуацию!) А теперь задача. Сперва на информационном листочке нарисовать направление удара ступеньки «по ногам»: куда в первое мгновение «поедет» середина лестницы? И тут многие, если не большинство, ответят неверно. А потом сформулировать саму задачу: «Найти множество точек, принадлежащих середине отрезка постоянной длины, концы которого находятся на дпнных взаимно перпендикулярных прямых».

Или еще как-нибудь менее наукообразно. Потом и эту задачу полезно дать для скрещивающихся прямых.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЗАРАЗА

Если один ученик всерьез «заболевает» творчеством, «болезнь» эта часто передается товарищам, всему классу. Надо только к этому подталкивать.

ТРИАДЫ

В такой обстановке иначе протекает формирование и привычных понятий. Уточняем сообща, например, понятия: определение, признак, свойство, устанавливаем связь между ними. Даю домашнее задание – написать небольшое сочинение на тему, условно названную «Триады» (определение, признак, свойство). Примеры ребята приводят не только из математики, но и из других наук. На уроке эти примеры обсуждаем, спорим, особенно когда дело касается других дисциплин; иногда прибегаем к «арбитражу» других учителей, ведущих эти предметы.

БЕСПЛАНОВОЕ ХОЗЯЙСТВО

Можно ведь и так учить: опросил, объяснил новое, закрепил, задал домашнее задание. И так всегда. Изо дня в день. Из года в год. У кого мало отметок, те пускай подучат – буду спрашивать, остальным можно расслабиться.

Я думаю, что учитель на уроке должен быть готов к неожиданностям, и ребята к ним должны быть готовы. Ученик не должен знать, когда его спросят. Спрашивать следует трудный материал, может быть, не ставить за него оценки. Конечно, если ученик заслужил, то поставить «отлично», а может быть, даже поставить ту же оценку и не за вполне отличный ответ. Во всяком случае, оценить на «хорошо» или никак не оценить. Аннотировать этот ответ. Во второй или третий раз требовать «по полному». Впрочем, «я не знаю мудрости, годной для других».

МЫСЛЬ ВЕЛИКОГО ЧЕЛОВЕКА

Содержание большинства из них было подобрано самими учениками, иногда даже мне не было заранее известно, что они написали. Часть плакатов была изготовлена явно мне «в пику». Такие обязательно первое время красовались на видном месте. Высказывания очень характеризовали изготовителей, которые их выбирали. Часть высказываний, разумеется, отбирал сам, особенно вначале.

Теперь некоторые высказывания.

Имей мужество пользоваться своим умом. Кант

Прежде чем решать задачу, полезно познакомиться с ее условием. Дьердь Пойя

Comparaison n'est pas raison. Сравнение не есть доказательство. Французское изречение

Этот плакат я всегда показываю после ряда примеров на аналогию, когда она приводит к верным и к ошибочным заключениям.

В одном (уже математическом) моем классе учились две Тихоновы и обе – Светланы, пришлось их различать по отчествам: Светлана Владимировна и Светлана Алексеевна. Мать Светлана Алексеевны жаловалась постоянно, что дочери очень тяжело, засиживается она над уроками далеко за полночь. Мать просила меня поговорить с дочерью, и была склонна перевести Светлану в обычную школу. Меня это тоже очень беспокоило, и порой я думал, что мама права. Но Света, правда, с большим трудом, перешла в 10-й класс. Каждый год стараюсь встретить новичков хотя бы одним свежим изречением. С.А. позвонила мне и изъявила желание мне помочь. Как всегда в таком случае, я предоставил Свете самой выбрать изречение. Но она все-таки еще раз позвонила и предложила на мой выбор несколько изречений. Я ей ответил, что все хороши. Некоторые из них она написала. Но каково было мое удивление, когда я 1-го сентября на двери своего кабинета увидел, как бы теперь сказали, несанкционированный плакат:

ВНИМАНИЕ!

В этом кабинете вам помогут решить

Проблему свободного времени

Плакат висел на двери целый год. А потом я взял его в кабинет. А Светлана давно окончила математический факультет Университета.

Часто я вспоминаю вслух слова Стендаля:

Без тяжелого балласта, даваемого трудом, корабль жизни становится игрушкой любого ветра.

А вот еще несколько изречений из моего кабинета.

Господи, дай мне душевный покой, чтобы принимать то, что я не могу изменить, мужество – изменять то, что могу и мудрость – всегда отличать одно от другого. Восточная мудрость

Cogito, ergo sum. Descartes (Cartesius) Я мыслю, следовательно, я существую. Декарт

Очевидность умаляется доказательствами. Цицерон

Великие открытия начинаются парадоксами и заканчиваются тривиальностями. Давид Гильберт

Бойся незнания, но еще больше бойся ложного знания. Конфуций

Что хорошо понятно, то легко и свободно излагается. В. Белинский

Одни поют, что знают, другие знают, что они поют. Испанская пословица

Для всех из нас, любой поймет Есть год, в который мы родились,

Так значит существует год, Когда мы все на свет явились.

Так, значит, папа, ты и я, Друг другу сверстниками стали.

Не лги мой сын, менять нельзя Свободно кванторы местами!

Обдумай, верно ли, возможно ли, что ты обещаешь, ибо обещание есть долг. Китайское изречение

У входа в науку, как и у входа в ад, должно быть выставлено требование: «Здесь нужно, чтоб душа была тверда; здесь страх не должен подавать совета». Карл Маркс

Талант великих душ есть узнавать великое в других. Н.М. Карамзин

МОДЕЛИ

О них уже говорилось. Но о них нужно сказать еще. Шкафы моего кабинета ими полны. Причем все они сделаны самими ребятами. Даже наклонную треугольную призму с разносторонним основанием из плотной бумаги сделать не просто. Большинство моделей – это модели многогранников. Среди них модели к задачам, модели правильных и полуправильных тел. Некоторые иллюстрируют теоремы. Есть такие, которые иллюстрируют неудачное определение призмы. Среди них ромбический додекаэдр. Есть даже сделанный из бронзы или какого-то материала, похожего на нее.

Вслед за выпуклыми ученики стали делать звездчатые многогранники, потом многосвязные (с дырками). Много среди моделей было кристаллов. Были и левые и правые кристаллы одного и того же вещества. Учителя химии и физики спорили, кому нужнее эти модели. Один ученик нашел статью о том, что дырчатые «малюсенькие» многогранники, состоящие из 12 правильных додекаэдров, являются катализаторами! А один сделал модель бриллианта, хранящегося где-то в сейфе в Южной Америки.

КНИГИ

С большим трудом удается приучить учеников смотреть на книги, обсуждать их, говорить, какую книгу, где видел или даже купил. Этому надо учить. Сам показываю книги по теме или общего содержания, как, например, «Игра с бесконечностью» Розы Петер или «Этот правый или левый мир» Гарднера. Рассказываю о них, пересказываю или читаю яркие места. Конечно, показываю все новые книги.

ПРИВЯЗАННОСТИ УЧИТЕЛЯ

Ученики могут и, пожалуй, должны чувствовать привязанность своего учителя к тому или иному материалу, теме, понятию и, конечно, к своим учителям, лекторам, ученым, авторам. Не скрываю, что мои любимые темы – скрещивающиеся прямые, многогранники; мои любимые учителя: по математике и литературе – Любовь Ивановна Соколова и Василий Иванович Белавин. Мои любимые ученые – Эйлер и более всего – Архимед. Открытия Архимеда общеизвестны. Поразительно, что, перешагнув тысячелетие, он ко многим проблемам применил «нечистые» методы. В геометрии он применял физику, кроме циркуля и линейки он пользовался приложением к окружности отрезка постоянной длины, применил открытую им спираль и таким образом, двумя «запрещенными» способами решил знаменитую задачу о трисекции угла.

ВМЕСТО ЗАКЛЮЧЕНИЯ

Я давно понял, что, мы учителя, существуем для них – учеников. Вольно или невольно мы думаем об учениках и уроках «в снах утра и в бездне вечерней»? (Из стихотворения В. Брюсова «Поэту»)

Очень многому они меня научили.